На катете ас треугольника авс (угол с=90 градусов) как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу ав в точке d; bd=4 см, ad=9 см. найдите cd.

выполнив чертеж, убедимся, что катет вс - отрезок касательной, а ва - секущая данной окружности.   по теореме о секущей и касательной:

вс квад = вд * ва = 4 * 13 = 52. отсюда

вс = 2кор13. найдем cos в:

cosв = вс/ав = (2кор13)/13.

  теперь рассмотрим треугольник вdc: вd=4; вс=2кор13; cosb =2/кор13. для нахождения cd применим теорему косинусов:

cdквад = 16 + 52 - 2*4*2кор13*2/кор13 = 68 - 32 = 36. отсюда

  cd= 6см.

ответ: 6 см.

если малость схитрить, то можно выбрать удобный частный случай и решить для него. например, для прямоугольного треугольника abc с прямым углом у вершины b. тогда три искомые описанные окружности будут иметь диаметры равные длинам сторон этого треугольника: 7 (меньший катет) , 14 (гипотенуза) и 14*корень(3)/2 (больший катет). в сумме диаметры составят 7*(3+корень( а сумма радиусов будет вдвое меньше.

но это, конечно, фейковое решение основанное на уверенности в том, что условие правильное и однозначно решается.

средняя линия треугольника соединяет середины сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. знаем средние линии, следовательно знаем стороны. основание равно 6*2=12, боковые стороны равны 5*2=10.

опустим высоту на основание. высота будет являться медианой и разделит основание пополам, а равнобедренный треугольник - на два прямоугольных. прямоугольный треугольник c катетом 6 и гипотенузой 10 - египетский (3: 4: 5), множитель 2, высота равна 4*2=8.

s=12*8/2=48.

или

основание b=12, боковые стороны a=10.

по формуле герона

s= b/2 *√((a+b/2)(a-b/2)) =6√(16*4) =6*8 =48